Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind der Kern eines eleganten Lösungsansatzes der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, Probleme mit quantenmechanischem Drehimpuls einfacher zu lösen (siehe Drehimpulsoperator). Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung oder Besetzungszahl-Darstellung).

Es gibt eine Vielzahl alternativer Bezeichnungen wie Leiteroperatoren, Kletteroperatoren, Aufsteige- und Absteigeoperatoren sowie Hebe- und Senkoperatoren. Statt „Erzeugungsoperator“ wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Im deutschsprachigen Raum werden darüber hinaus auch die Operatoren ${\displaystyle \sigma _{+}}$ und ${\displaystyle \sigma _{-}}$, die die Zustände eines Atoms ändern, als Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren bezeichnet.

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln, die auch algebraische Methode genannt wird. Sie wurde hauptsächlich von Paul Dirac entwickelt. Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren ${\displaystyle {\hat {a}}}$ und ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$, die einem Oszillator jeweils ein Energiequant ${\displaystyle \hbar \omega }$ entziehen oder hinzufügen. Deswegen werden sie Vernichtungs- und Erzeugungsoperator genannt.

Das Zirkumflex (${\displaystyle {\hat {}}}$-Symbol) über dem ${\displaystyle a}$ symbolisiert, dass es sich dabei um einen Operator handelt. Damit gelten nicht dieselben Rechenregeln wie für Skalare, denn die Reihenfolge von Operatoren lässt sich beispielsweise im Allgemeinen nicht vertauschen. Im Folgenden wird auf das Zirkumflex-Symbol zugunsten der Übersichtlichkeit verzichtet, wenn nichts anderes gesagt ist. Alle lateinischen Großbuchstaben, mit Ausnahme von ${\displaystyle E_{n}}$, den Energieeigenwert darstellend, sind Operatoren.